Streitgegenstand ist das vorinstanzliche Urteil, soweit damit die Steuernachforderung gegenüber der Beschwerdegegnerin aufgehoben worden ist. Der Feststellungsantrag ist gegenstandslos, nachdem bereits die Vorinstanz festgestellt hat, dass die Mehrwertsteuerpflicht der Beschwerdegegnerin ab dem 20. September 2007 zu Recht bestehe.
3.1. Das Beschwerderecht der Bundesbehörden ist abstrakter und autonomer Natur (
BGE 136 II 359 E. 1.2 S. 363). Es dient dazu, den Vollzug des Bundesverwaltungsrechts in den Kantonen und in der Bundesverwaltung zu überwachen, setzt aber kein hierüber hinausgehendes, spezifisches schutzwürdiges (öffentliches) Interesse voraus. Immerhin muss – mit Blick auf die einheitliche Anwendung des Bundesrechts in vergleichbaren Fällen – ein zureichendes Interesse an der Beurteilung der aufgeworfenen Probleme bestehen. Dies ist praxisgemäss (insbesondere) dann der Fall, wenn dem Gericht eine neue Rechtsfrage unterbreitet oder eine konkret drohende und nicht anders abwendbare bundesrechtswidrige Rechtsentwicklung verhindert werden soll. Die Behördenbeschwerde darf nicht der Behandlung einer vom konkreten Fall losgelösten abstrakten Frage des objektiven Rechts dienen. Sie hat sich vielmehr auf konkrete Probleme eines tatsächlich bestehenden Einzelfalls mit Auswirkungen über diesen hinaus zu beziehen; zudem muss sie für diesen von einer gewissen Aktualität und (wenigstens potentiellen) Relevanz sein (
BGE 135 II 338 E. 1.2 S. 341).
3.2. Die Beschwerdeführerin anerkennt die geschäftliche Natur der Flugleistungen, welche die Beschwerdegegnerin an die B.a. AG erbracht hat. Aufgrund dieser Prämisse akzeptiert die Beschwerdeführerin die Einschätzung der Vorinstanz, wonach die Beschwerdegegnerin nicht in erster Linie ihrem Alleinaktionär gedient habe, und räumt ein, es liege keine Steuerumgehung vor.
Bei dieser Sachlage besteht kein Anlass, die Anforderungen an den Nachweis der geschäftlichen Verwendung eines Flugzeugs durch nahestehende Gesellschaften zu klären, wie die Beschwerdeführerin beantragt. Diese «Klärung» würde losgelöst vom vorliegenden Fall erfolgen, was, wie in E. 3.1 dargelegt, auch im Rahmen der Behördenbeschwerde nicht zulässig ist. Grundsätzlich ist nur das Dispositiv, nicht aber die Begründung eines Entscheids selbstständig anfechtbar (
BGE 120 V 233 E. 1a S. 237 mit Hinweis), es sei denn, die Erwägungen würden an der Rechtskraft des Dispositivs infolge Verweises teilnehmen (Urteil
9C_58/2012 vom 8. Juni 2012 E. 4.2, nicht publiziert in:
BGE 138 V 298;
BGE 121 III 474 E. 4a S. 477 f. mit Hinweisen). Letzteres ist hier nicht der Fall. Auf die Fragen der Beweislast und des Beweismasses im Zusammenhang mit der geschäftlichen Verwendung eines Flugzeugs ist daher nicht einzugehen.
Die Beschwerdeführerin begründet ihren Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils insbesondere damit, die steuerbaren Umsätze aus den privaten Flügen für X. und Y. würden zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs führen, obwohl keine Steuerumgehung vorliege. Die Kürzung sei zudem eine Folge der spendenartigen Finanzierung der Beschwerdegegnerin. Nur diese beiden Fragen sind noch streitig und nachfolgend (E. 6 und E. 7) zu prüfen.
4.1. Am 1. Januar 2010 ist das Bundesgesetz vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer (MWSTG;
SR 641.20) in Kraft getreten. Der vorliegend zu beurteilende Sachverhalt erstreckt sich vom 20. September 2007 bis zum 31. März 2009; er fällt somit in die Zeit vor dem Inkrafttreten des MWSTG. Gemäss Art. 112 Abs. 1 MWSTG bleiben die bisherigen gesetzlichen Bestimmungen sowie die gestützt darauf erlassenen Vorschriften grundsätzlich weiterhin auf alle während ihrer Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar. Das vorliegende Verfahren untersteht deshalb in materieller Hinsicht dem Mehrwertsteuergesetz vom 2. September 1999 (aMWSTG;
AS 2000 1300) sowie der dazugehörigen Verordnung vom 29. März 2000 (aMWSTV;
AS 2000 1347).
4.2. Das Verfahren vor der ESTV wurde im Juni 2009 eröffnet, indem diese bei der (heutigen) Beschwerdegegnerin eine Kontrolle durchführte. Gemäss Art. 113 Abs. 3 MWSTG ist das neue Verfahrensrecht (vorbehältlich der Regeln über die Bezugsverjährung nach Art. 91 MWSTG) auf sämtliche im Zeitpunkt des Inkrafttretens hängigen Verfahren anwendbar. In diesem Zeitpunkt (am 1. Januar 2010) war das Verfahren bereits vor der ersten Instanz hängig, so dass in verfahrensrechtlicher Hinsicht das neue Recht anwendbar ist.
5.1. Der Mehrwertsteuer unterliegen die im Inland gegen Entgelt erbrachten Lieferungen von Gegenständen und Dienstleistungen (Art. 5 Bst. a und b aMWSTG). Als Dienstleistung gilt jede Leistung, die keine Lieferung eines Gegenstands ist (Art. 7 Abs. 1 aMWSTG). Die Steuer wird vom Entgelt berechnet (Art. 33 Abs. 1 aMWSTG). Zum Entgelt gehört alles, was der Empfänger oder an seiner Stelle ein Dritter für die Lieferung oder Dienstleistung aufwendet einschliesslich Spenden, die unmittelbar den einzelnen Umsätzen des Empfängers als Gegenleistung zugeordnet werden können. Die Gegenleistung erfasst auch den Ersatz aller Kosten, selbst wenn diese gesondert in Rechnung gestellt werden (Art. 33 Abs. 2 aMWSTG).
5.2. Eine steuerbare Leistung im Sinn von Art. 5 Bst. a und b aMWSTG setzt einen Leistungsaustausch voraus; fehlt es daran, ist die Aktivität mehrwertsteuerlich irrelevant und fällt nicht in den Geltungsbereich der Mehrwertsteuer (
BGE 132 II 353 E. 4.3 mit Hinweisen). Ein Leistungsaustausch ist anzunehmen, soweit zwischen der (Haupt-) Leistung (Lieferung oder Dienstleistung im Sinn von Art. 5 aMWSTG) und der Gegenleistung (Entgelt im Sinn von Art. 33 aMWSTG) ein Konnex besteht (Urteil
2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.4
); verlangt wird eine «innere wirtschaftliche Verknüpfung» (
BGE 138 II 239 E. 3.2 S. 241
;
BGE 132 II 353 E. 4.1 S. 357). Nach der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung (geändert mit Urteil 2A.264/2006 vom 3. September 2008 E. 3.3
) ist ein Leistungsaustausch auch unter nahestehenden Personen möglich. Dies ergibt sich aus dem Begriff des Leistungsaustauschs bei Lieferungen und Dienstleistungen im Sinn der Art. 5 ff. aMWSTG, welche diesbezüglich keine Ausnahme oder abweichende Behandlung vorsehen (
BGE 138 II 239 E. 3.2 S. 241
; Urteile
2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.2;
2C_732/2010 vom 28. Juni 2012 E. 3 und 4.2
;
2C_129/2012 vom 15. Juni 2012 E. 4.1;
2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 5.1
;
2C_476/2010 vom 19. März 2012 E. 2.1
). Deswegen ist der Leistungsaustausch zwischen einer juristischen Person und ihrem Beteiligten mit Bezug auf das Steuerobjekt im Grundsatz nicht anders zu behandeln als der Leistungsaustausch zwischen einer juristischen Person und einem unabhängigen Dritten (Urteil
2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.2).
5.3. Art. 38 Abs. 1 und 2 aMWSTG regeln die Grundsätze zum Vorsteuerabzug. Verwendet die steuerpflichtige Person Gegenstände oder Dienstleistungen für einen geschäftlich begründeten Zweck, so kann sie in ihrer Steuerabrechnung die in Art. 38 Abs. 1 lit. a-c aMWSTG genannten Steuern als Vorsteuern abziehen. Zum Vorsteuerabzug berechtigen – neben anderen – gemäss Art. 38 Abs. 2 lit. a und b aMWSTG steuerbare Lieferungen und Dienstleistungen. Als «verwendet» im Sinn von Art. 38 Abs. 1 und 2 aMWSTG gilt ein (vor) steuerbelasteter Eingangsumsatz, der in steuerbare Ausgangsumsätze der steuerpflichtigen Person fliesst, mithin für einen geschäftlich begründeten Zweck eingesetzt wird. Fehlt es an diesem Zweck, liegt hinsichtlich der Eingangsleistung Eigenverbrauch durch die steuerpflichtige Person vor (Urteil
2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.6
mit Hinweis auf
BGE 132 II 353 E. 8.2 S. 364;
Daniel Riedo, Vom Wesen der Mehrwertsteuer als allgemeine Verbrauchsteuer und von den entsprechenden Wirkungen auf das schweizerische Recht, 1999, S. 158 f.).
6.1. Die Beschwerdeführerin bestreitet den geschäftlichen Zweck im Sinn von Art. 38 Abs. 2 aMWSTG hinsichtlich der Flüge, welche von X. und Y. in Anspruch genommen wurden. Zwar liege – abgesehen von der ungewöhnlichen Finanzierung der Beschwerdegegnerin – in den ersten 15 Monaten des Bestehens keine absonderliche Rechtsgestaltung vor. Indessen habe X. nach dem Abzug des Flugzeugs von der C. AG im Dezember 2008, also nur 16 Monate nach Geschäftsaufnahme der Beschwerdegegnerin, freiwillig darauf verzichtet, erneut eine die gewerbsmässige Luftfahrt betreibende Unternehmung mit dem Management des Flugzeugs zu beauftragen. Statt dessen habe er das Flugzeug ins Aircraft-Management eines selbst gegründeten Vereins gegeben, welcher es mangels Betriebsbewilligung des BAZL nicht gewerbsmässig einsetzen dürfe. Ein Wille zum kostendeckenden Einsatz sei nicht erkennbar; in den Jahren 2009 und 2010 habe das Flugzeug vorwiegend am Boden gestanden. Sie – die Beschwerdeführerin – akzeptiere eine Privatnutzung von bis zu 5% ohne Vorsteuerabzugskürzung. In den übrigen Fällen könne eine Privatnutzung trotz mehrwertsteuerlichen Leistungsaustauschs zwischen Gesellschaft und wirtschaftlich berechtigter Person nicht zu einer vollständigen Steuerentlastung führen, die sonst nicht zu erreichen wäre. Vielmehr gebiete die ratio legis der Art. 38 Abs. 1, 2 und 4 aMWSTG eine Kürzung des Vorsteuerabzugs. Diese Bestimmungen würden die steuerbelastete Eingangsleistung mit der steuerbaren Ausgangsleistung dergestalt verknüpfen, dass die bezogenen (Eingangs-) Leistungen für einen geschäftlich begründeten Zweck der steuerpflichtigen Person verwendet werden müssten; der private Bedarf des an der steuerpflichtigen Person wirtschaftlich Berechtigten falle nicht darunter.
6.2. Die Beschwerdeführerin übersieht, dass die Art der Verwendung der Leistung auf Seiten des Empfängers irrelevant ist. Sofern ein Leistungsaustausch vorliegt, spielt es keine Rolle, ob die Leistung zu privaten oder anderen Zwecken bezogen wird. Nicht der Empfänger der Leistung, sondern die steuerpflichtige Person muss einen geschäftlich begründeten Zweck verfolgen. Das Bundesgericht hat das Argument der «privaten Verwendung» im von der Beschwerdeführerin erwähnten Sinn explizit verworfen, indem es erwog, es spiele keine Rolle, zu welchem Zweck der Leistungsbezüger die Leistung verwende, relevant sei lediglich, ob die leistende Unternehmung nach den Gesamtumständen erkennbar um der Gegenleistung willen leiste (vgl. Urteil
2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.3 mit Hinweisen). Rechtsprechungsgemäss ist im Verhältnis zwischen der Gesellschaft und der nahestehenden Person zu prüfen, ob es sich bei der fraglichen Leistung um eine Innenleistung zur betrieblichen oder unternehmerischen Leistungserstellung handelt oder ob die Leistung bereits das Endprodukt darstellt, welches den betrieblichen Bereich verlässt (Urteil
2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 5.2
). Ist Letzteres der Fall, ist der nahestehende bzw. wirtschaftlich berechtigte Leistungsempfänger wie ein Drittkunde zu behandeln.
Nachdem die Beschwerdeführerin einräumt, dass hinsichtlich der Flugzeugnutzung ein Leistungsaustausch zwischen der Beschwerdegegnerin und X. bzw. Y. zu bejahen ist, steht die private Verwendung der Leistungen der Berechtigung zum Vorsteuerabzug nicht entgegen.
Daran vermag auch der Einwand, der Einzelunternehmer hätte im analogen Fall infolge Eigenverbrauchs gemäss Art. 9 Abs. 1 aMWSTG eine Kürzung des Vorsteuerabzugs zu akzeptieren, nichts zu ändern. Rechtsprechungsgemäss ist es den steuerpflichtigen Personen freigestellt, ihre Verhältnisse so zu gestalten, dass möglichst niedrige Steuern anfallen. Gegen eine solche Steuerplanung ist nichts einzuwenden, solange erlaubte Mittel eingesetzt werden (Urteil
2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.7
mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin erklärt ausdrücklich, es liege keine Steuerumgehung vor in dem Sinn, dass die Beschwerdegegnerin einzig deswegen gegründet worden sei, um den Bedürfnissen von X. zu dienen. Dies ergibt sich zudem aus der (für das Bundesgericht verbindlichen) Feststellung der Vorinstanz, wonach das Flugzeug auch in den Jahren 2009 und 2010 von der B.a. AG (und nicht nur von X.) genutzt wurde. Es liegt keine ausschliessliche Eigennutzung vor, so dass die unternehmerische Struktur zu akzeptieren ist (Urteil
2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.9
). Daher erübrigen sich Ausführungen zur missbräuchlichen Berufung auf die rechtliche Unabhängigkeit der involvierten Personen (vgl. dazu
BGE 132 III 737 E. 2.3 und
BGE 132 III 489 E. 3.2 mit Hinweisen) bzw. zur Steuerumgehung (vgl. dazu
BGE 138 II 239 E. 4 S. 243
).
6.3. Nach den vorstehenden Erwägungen ist der Vorsteuerabzug auf jenen Anschaffungs- und Betriebskosten der Beschwerdegegnerin, welche in Leistungen an X. und Y. geflossen sind, zulässig. Es handelt sich dabei gerade nicht um «private», sondern um geschäftlich verwendete Umsätze; die private Verwendung der Leistungen durch die – wenn auch nahestehenden – Kunden ist unerheblich (vgl. auch
BGE 138 II 239 E. 3.3 S. 242
).
7.1. Gemäss Art. 38 Abs. 8 erster Satz aMWSTG ist der Vorsteuerabzug verhältnismässig zu kürzen, soweit eine steuerpflichtige Person Spenden erhält, die nicht einzelnen Umsätzen des Empfängers als Gegenleistung zugeordnet werden können.
Die Beschwerdeführerin trägt vor, die mehrjährigen Verlustübernahmen von X. hätten wegen des Erhalts von Spenden zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs gestützt auf Art. 38 Abs. 8 aMWSTG führen müssen. Die Vorinstanz habe es unterlassen, diese Frage zu prüfen. Seit Februar 2009 werde das Flugzeug nur noch von X. und der B.a. AG (heute:
B.b. AG) in höchst bescheidenem Umfang verwendet. Dies lasse den Schluss zu, dass (spätestens) kurz nach der Geschäftsaufnahme der wahre Zweck der Beschwerdegegnerin darin bestanden habe, das Haftungsrisiko zu übernehmen für ein Flugzeug, welches X. als dem wirtschaftlich Berechtigten und den ihm nahestehenden Personen unabhängig von den Kosten jederzeit zur Verfügung stehen sollte. Damit fehle es am Willen und an der Notwendigkeit, mit den erhaltenen Fremdmitteln einen wirtschaftlichen Vorteil zu erlangen und eine mehrwertgenerierende Tätigkeit marktgerecht auszuüben. Aufgrund der Höhe der bisherigen Einnahmen der Beschwerdegegnerin könne mit einer Rückzahlung der von X. geleisteten zinslosen Darlehen mit Rangrücktritt und des zur Verfügung gestellten Kontokorrents nicht ernsthaft gerechnet werden. Es gebe keine Anhaltspunkte, dass die eingeschossenen Mittel erhalten blieben oder gar rentieren würden. X. finanziere mit der A. AG eine sonst nicht lebensfähige Aktivität, die in erheblichem Umfang seinen privaten Bedürfnissen diene. Es sei davon auszugehen, dass er die bisherigen Verluste definitiv tragen müsse. Somit liege eine spendenartige Finanzierung vor, welche zu einer Vorsteuerkürzung führen müsse.
7.2. Vorab ist festzuhalten, dass eine ausschliessliche Eigenfinanzierung nicht per se missbräuchlich ist; vielmehr sind die am Gesellschaftsverhältnis Beteiligten hinsichtlich der Vertragsgestaltung frei. In Bezug auf die Finanzierung einer Gesellschaft kann auf die Grundsätze verwiesen werden, welche auch für die Wahl der Rechtsform gelten (vgl. E. 6.2 letzter Abschnitt). Grundsätzlich ist es somit zulässig, dass eine Gesellschaft durch Darlehensgelder ihres Alleinaktionärs finanziert wird. Eine missbräuchliche Berufung auf die Vertragsfreiheit wäre anzunehmen, wenn das Darlehen simuliert wäre.
7.3. Die Beschwerdeführerin macht sinngemäss geltend, das Darlehen von X. zugunsten der Beschwerdegegnerin sei simuliert worden oder müsse rückblickend als à-fonds-perdu-Leistung gelten, weshalb es als Spende zu qualifizieren sei. Dieses Vorbringen beruht auf Sachverhaltsrügen, welche vom Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel der Willkür zu prüfen sind (vgl. E. 2.2).
7.3.1. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin sind keine Hinweise ersichtlich, welche auf eine Simulation des Darlehens deuten würden. Insbesondere lassen die Erhöhung der Darlehenssumme und der Rangrücktritt diesen Schluss nicht zu. Das Darlehen könnte nur als simuliert gelten, wenn erstellt wäre, dass der Darlehensgeber die Rückzahlung bei Vertragsschluss lediglich zum Schein vereinbart hat. Dies anzunehmen hatte die Vorinstanz keine Veranlassung, was keineswegs willkürlich ist. Auch für einen nachträglichen Verzicht auf die Rückzahlung des Darlehens gibt es keine Hinweise. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Tatbestand von Art. 38 Abs. 8 aMWSTG nicht geprüft hat. Eine Qualifizierung des Darlehens als Spende fällt ausser Betracht.
7.3.2. Zum gleichen Ergebnis führt die mehrwertsteuerliche Behandlung von Einlagen und Darlehen als Finanzierungsinstrumente einer Gesellschaft in der Rechtsprechung. Die Tatsache, dass Einlagen und Darlehen für die Anschaffung von steuerbelasteten Gütern oder Dienstleistungen verwendet werden, führt nicht zur Kürzung des Vorsteuerabzugs. Eine solche hängt im Grundsatz einzig davon ab, ob die Eingangsleistungen für einen geschäftlich begründeten Zweck verwendet werden oder nicht (
BGE 132 II 353 E. 7.1 S. 363). Demgemäss führen Finanzierungsvorgänge wie der vorliegende in der Regel nicht dazu, dass der Vorsteuerabzug gekürzt werden müsste (Urteil
2C_229/2008 vom 13. Oktober 2008 E. 5.4
mit Verweis auf
BGE 132 II 353 E. 10 S. 370). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin kommt es auch nicht darauf an, ob die Gesellschaft unter Berücksichtigung betriebswirtschaftlicher Grundsätze eine angemessene Rentabilität erzielt (
BGE 132 II 353 E. 9.2 S. 368).
Zusammenfassend ergibt sich, dass für eine Kürzung des Vorsteuerabzugs auf den hier noch streitigen Leistungen keine Rechtsgrundlage besteht. Das vorinstanzliche Urteil ist zu bestätigen, und die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
8.1. Da die Eidgenossenschaft in dieser Angelegenheit in ihrer Vermögenssituation betroffen ist, wird die beschwerdeführende Eidgenössische Steuerverwaltung kostenpflichtig (Art. 6 Ab. 4 BGG).
8.2. Die obsiegende Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine angemessene Parteientschädigung, welche von der Beschwerdeführerin zu bezahlen ist. Die Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin haben das Honorar in ihrer Kostennote vom 21. November 2013 auf Fr. 50’600.83 plus Auslagen von Fr. 459.50, total Fr. 51’060.33, beziffert. Das Honorar für das bundesgerichtliche Verfahren bestimmt sich nach dem Reglement vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht (
SR 173.110.210.3; nachfolgend: Reglement). Gemäss Art. 3 Abs. 1 des Reglements richtet sich bei Streitsachen mit Vermögensinteresse das Honorar in der Regel nach dem Streitwert. Es wird innerhalb der vorgesehenen Rahmenbeträge nach der Wichtigkeit der Streitsache, ihrer Schwierigkeit sowie dem Umfang der Arbeitsleistung und dem Zeitaufwand des Anwalts oder der Anwältin bemessen. Vorliegend ist von einem Streitwert von rund Fr. 400’000.– auszugehen. Gemäss Art. 4 des Reglements beträgt das Honorar bei einem Streitwert von Fr. 100’000.– bis Fr. 500’000.– Fr. 5’000.– bis Fr. 15’000.–. Weder sind Umstände geltend gemacht worden noch ist ersichtlich, weshalb von diesem Gebührenrahmen abgewichen werden sollte. Es rechtfertigt sich daher, das Honorar auf Fr. 13’000.– festzulegen, zuzüglich die geltend gemachten Auslagen von Fr. 459.50. Die Parteientschädigung beträgt somit Fr. 13’459.50.